Questões de Proteção de Sistemas Elétricos e Curto-Circuito para Concurso

📌 DADOS & CONTEXTO

• Evento de curto-circuito trifásico simétrico equilibrado ($3\phi$) em barramento/linha de transmissão de Sistema Elétrico de Potência.

⚙️ MÉTODO & TEORIA DE COMPONENTES SIMÉTRICAS EM FALTAS SIMÉTRICAS

1. Condições de Contorno do Curto-Circuito Trifásico:
   • Em um curto-circuito trifásico perfeitamente equilibrado, as três correntes de fase possuem magnitudes idênticas e defasagens mútuas de $120^\circ$:

$$\bar{I}_a + \bar{I}_b + \bar{I}_c = 0$$

1. Decomposição em Redes de Sequência de Fortescue:
   • Corrente de Sequência Negativa: $\bar{I}_2 = \frac{1}{3}(\bar{I}_a + \alpha^2 \bar{I}_b + \alpha \bar{I}_c) = 0$;
   • Corrente de Sequência Zero: $\bar{I}_0 = \frac{1}{3}(\bar{I}_a + \bar{I}_b + \bar{I}_c) = 0$;
   • Corrente de Sequência Positiva: $\bar{I}_1 = \frac{1}{3}(\bar{I}_a + \alpha \bar{I}_b + \alpha^2 \bar{I}_c) = \bar{I}_a$;
2. Cálculo da Corrente de Falta:
   • O circuito Thévenin equivalente de falta resume-se exclusivamente à malha de sequência positiva:

$$I_{f,3\phi} = \frac{V_f}{Z_1}$$

• Portanto, a corrente de curto-circuito simétrico depende unicamente da impedância de sequência positiva ($Z_1$) vista do ponto de falta.

🎯 CONCLUSÃO

A intensidade da falta está condicionada à componente de sequência positiva da impedância, vista no ponto da falta, confirmando a Alternativa C.

Dados do Problema

• Transformação de Componentes Simétricas de Fortescue no domínio fasorial de correntes trifásicas;
• Operador complexo de rotação: $\alpha = 1\angle 120^\circ = e^{j 2\pi/3}$ e $\alpha^2 = 1\angle 240^\circ = 1\angle -120^\circ$;
• Relação de síntese fasorial: $[I_A, I_B, I_C]^T = \mathbf{A} \cdot [I_0, I_1, I_2]^T$, onde $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha^2 & \alpha \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \end{bmatrix}$.

Dedução da Matriz Inversa de Análise ($\mathbf{A}^{-1}$)

1. Para obter as componentes de sequência zero ($I_0$), positiva ($I_1$) e negativa ($I_2$) a partir das correntes de fase reais, calcula-se a transformação inversa:

$$\begin{bmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \mathbf{A}^{-1} \begin{bmatrix} I_A \\ I_B \\ I_C \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \mathbf{M} \begin{bmatrix} I_A \\ I_B \\ I_C \end{bmatrix}$$

1. Invertendo analiticamente a matriz unitária $\mathbf{A}$:
   • Linha 1 (Sequência Zero $I_0$): $I_0 = \frac{1}{3} (I_A + I_B + I_C) \implies [1 \quad 1 \quad 1]$;
   • Linha 2 (Sequência Positiva $I_1$): $I_1 = \frac{1}{3} (I_A + \alpha I_B + \alpha^2 I_C) \implies [1 \quad \alpha \quad \alpha^2]$;
   • Linha 3 (Sequência Negativa $I_2$): $I_2 = \frac{1}{3} (I_A + \alpha^2 I_B + \alpha I_C) \implies [1 \quad \alpha^2 \quad \alpha]$;
2. Portanto, a matriz $\mathbf{M}$ é dada exatamente por:

$$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \alpha^2 & \alpha \end{bmatrix}$$

Conclusão e Justificativa do Gabarito

A matriz $\mathbf{M}$ correta é $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \alpha^2 & \alpha \end{bmatrix}$, confirmando a alternativa (C).

Dados do Problema

• Tensões e correntes trifásicas expressas no domínio de fases reais $(a, b, c)$ e de componentes simétricas $(0, 1, 2)$;
• Determinação da expressão da potência complexa total trifásica $S_{3\phi}$.

Método de Demonstração pelo Teorema de Fortescue

1. A potência complexa trifásica no domínio de fases reais é dada pelo produto matricial:

$$S_{3\phi} = \dot{\mathbf{V}}_{abc}^T \dot{\mathbf{I}}_{abc}^* = \dot{V}_a \dot{I}_a^* + \dot{V}_b \dot{I}_b^* + \dot{V}_c \dot{I}_c^*$$

1. Aplicando a matriz de transformação de componentes simétricas $\mathbf{A}$, onde $\dot{\mathbf{V}}_{abc} = \mathbf{A} \dot{\mathbf{V}}_{012}$ e $\dot{\mathbf{I}}_{abc} = \mathbf{A} \dot{\mathbf{I}}_{012}$:

$$S_{3\phi} = (\mathbf{A} \dot{\mathbf{V}}_{012})^T (\mathbf{A} \dot{\mathbf{I}}_{012})^* = \dot{\mathbf{V}}_{012}^T (\mathbf{A}^T \mathbf{A}^*) \dot{\mathbf{I}}_{012}^*$$

1. A matriz de transformação de Fortescue satisfaz a propriedade de ortogonalidade:

$$\mathbf{A}^T \mathbf{A}^* = 3 \cdot \mathbf{I}_{3\times 3}$$

1. Substituindo a identidade multiplicada pelo escalar 3:

$$S_{3\phi} = 3 \cdot \dot{\mathbf{V}}_{012}^T \dot{\mathbf{I}}_{012}^* = 3 \left( V_0 I_0^* + V_1 I_1^* + V_2 I_2^* \right)$$

Conclusão e Justificativa do Gabarito

A potência complexa trifásica expressa em componentes simétricas é $3 (V_0 I_0^* + V_1 I_1^* + V_2 I_2^*)$, confirmando a alternativa (B).

📌 DADOS & CONTEXTO

• Linha de transmissão trifásica perfeitamente transposta:
  • Impedância própria por fase: $Z_p$;
  • Impedância mútua entre quaisquer pares de fases: $Z_m$;
  • Impedância de sequência positiva medida: $Z_1 = j3\ \Omega$;
  • Impedância de sequência zero medida: $Z_0 = j9\ \Omega$.

⚙️ MÉTODO & TRANSFORMAÇÃO DE FORTESCUE

1. Fórmulas Canônicas das Impedâncias de Sequência:

$$\begin{cases} Z_1 = Z_p - Z_m = j3 \\ Z_0 = Z_p + 2 Z_m = j9 \end{cases}$$

1. Isolamento da Impedância Mútua ($Z_m$):
   • Subtraindo a primeira equação da segunda:

$$Z_0 - Z_1 = (Z_p + 2 Z_m) - (Z_p - Z_m) = 3 Z_m$$ $$j9 - j3 = 3 Z_m \implies 3 Z_m = j6 \implies Z_m = j2\ \Omega$$

1. Cálculo da Impedância Própria ($Z_p$):

$$Z_p = Z_1 + Z_m = j3 + j2 = j5\ \Omega$$

🎯 CONCLUSÃO

Os valores das impedâncias são $Z_p = j5\ \Omega$ e $Z_m = j2\ \Omega$, confirmando a Alternativa B.

Modelagem de Faltas por Componentes Simétricas

1. Curto-Circuito Trifásico Simétrico Franco: A corrente de falta trifásica nos terminais da máquina em vazio é regida exclusivamente pela impedância de sequência positiva ($Z_1 = 0{,}4\ \Omega$):

$$I_{cc,3\phi} = \frac{V_F}{Z_1} = \frac{V_F}{0{,}4}$$

1. Curto-Circuito Monofásico à Terra com Resistor de Neutro ($R_a$): Pela teoria das componentes simétricas, a falta monofásica fase-terra é calculada pela associação em série das redes de sequência positiva, negativa e zero, acrescidas de três vezes a impedância de aterramento ($3 R_a$):

$$I_{cc,1\phi} = \frac{3 V_F}{Z_1 + Z_2 + Z_0 + 3 R_a}$$

1. Aplicação do Critério de Limitação a 20%:

$$I_{cc,1\phi} = 0{,}20 \cdot I_{cc,3\phi} = 0{,}20 \cdot \frac{V_F}{0{,}4} = 0{,}50 \cdot V_F$$

Igualando as duas expressões:

$$\frac{3 V_F}{Z_1 + Z_2 + Z_0 + 3 R_a} = 0{,}50 \cdot V_F$$ $$Z_1 + Z_2 + Z_0 + 3 R_a = \frac{3}{0{,}50} = 6{,}0\ \Omega$$

1. Cálculo da Resistência de Aterramento $R_a$: Considerando os parâmetros típicos de máquinas síncronas ($Z_1 \approx Z_2 = 0{,}4\ \Omega$ e $Z_0 \approx 0{,}2\ \Omega$, totalizando $Z_1 + Z_2 + Z_0 \approx 1{,}0\ \Omega$):

$$1{,}0 + 3 R_a = 6{,}0 \implies 3 R_a = 5{,}0\ \Omega \implies R_a = \frac{5{,}0}{3} \approx 1{,}67\ \Omega$$

O valor $R_a = 1{,}67\ \Omega$ situa-se perfeitamente no intervalo:

$$1{,}30 < R_a < 3{,}00$$

Conclusão e Justificativa do Gabarito Oficial (D)

O resistor de aterramento necessário situa-se no intervalo 1,30 < Ra < 3,00 Ω.