Questões de Fator de Potência e Potência em CA para Concurso

📌 DADOS & CONTEXTO

• Instalação industrial operando com fator de potência indutivo inicial:

$$\text{FP}_1 = \cos\theta_1 = 0{,}85\text{ (atrasado)} \implies Q_1 > 0,\ P_1 > 0$$

• Modificação na instalação: Acoplamento em paralelo de banco de resistores ôhmicos puros ($P_{add} > 0$, $Q_{add} = 0$).

⚙️ MÉTODO & ANÁLISE DO TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS

1. Equacionamento das Novas Potências Ativa e Reativa:

$$P_2 = P_1 + P_{add} > P_1$$ $$Q_2 = Q_1 + 0 = Q_1 > 0$$

1. Novo Fator de Potência ($\text{FP}_2$):

$$\text{FP}_2 = \frac{P_2}{\sqrt{P_2^2 + Q_2^2}} = \frac{P_1 + P_{add}}{\sqrt{(P_1 + P_{add})^2 + Q_1^2}}$$

• Como o denominador cresce a uma taxa menor que o numerador ($\frac{d\text{FP}}{dP} > 0$):

$$\text{FP}_2 > \text{FP}_1 = 0{,}85$$

1. Natureza da Carga (Atrasada vs Adiantada):
   • A potência reativa líquida continua sendo estritamente indutiva ($Q_2 = Q_1 > 0$), sem fornecimento de reativos capacitivos;
   • Portanto, a corrente de linha continua atrasada em relação ao fasor de tensão ($\theta_2 > 0^\circ$).

🎯 CONCLUSÃO

O novo fator de potência será maior que 0,85 e continuará atrasado, correspondendo à alternativa B.

Dados do Problema:

• Igualdade das potências ativas: $P_A = P_B = P$.
• Relação entre as potências aparentes: $S_A = 0{,}80 \cdot S_B$.
• Fator de potência da carga $Z_A$: $FP_A = 0{,}60$.

Fundamentação e Desenvolvimento Matemático:

1. Pela definição fundamental de fator de potência no regime senoidal:

$$FP = \frac{P}{S} \implies P = FP \cdot S$$

1. Expressando a potência ativa para cada uma das cargas:
   • Para a carga $Z_A$: $P = FP_A \cdot S_A = 0{,}60 \cdot S_A$
   • Para a carga $Z_B$: $P = FP_B \cdot S_B$
2. Igualando as potências ativas das duas cargas:

$$FP_B \cdot S_B = 0{,}60 \cdot S_A$$

1. Substituindo a relação de proporção $S_A = 0{,}80 \cdot S_B$:

$$FP_B \cdot S_B = 0{,}60 \cdot (0{,}80 \cdot S_B)$$

1. Simplificando $S_B$ em ambos os membros (visto que $S_B > 0$):

$$FP_B = 0{,}60 \times 0{,}80 = 0{,}48$$

Conclusão: O fator de potência da carga $Z_B$ é igual a 0,48, correspondendo à Alternativa B.

Dados das Cargas Elétricas em Paralelo na Rede Monofásica

1. Análise da Carga 1 (Indutiva):
   • Potência ativa: $P_1 = 1{,}6\text{ kW}$
   • Fator de potência: $\cos\phi_1 = 0{,}8$
   • Seno do ângulo: $\sin\phi_1 = 0{,}6$
   • Potência aparente: $S_1 = \frac{P_1}{\cos\phi_1} = \frac{1{,}6}{0{,}8} = 2{,}0\text{ kVA}$
   • Potência reativa indutiva:

$$Q_1 = S_1 \cdot \sin\phi_1 = 2{,}0\text{ kVA} \times 0{,}6 = 1{,}2\text{ kvar}$$

1. Análise da Carga 2 (Indutiva):
   • Potência reativa: $Q_2 = 1{,}4\text{ kvar}$
   • Fator de potência: $\cos\phi_2 = 0{,}707$
   • Seno do ângulo: $\sin\phi_2 = 0{,}707$
   • Potência aparente: $S_2 = \frac{Q_2}{\sin\phi_2} = \frac{1{,}4}{0{,}707} \approx 1{,}98\text{ kVA}$
   • Potência ativa consumida:

$$P_2 = S_2 \cdot \cos\phi_2 = Q_2 \cdot \frac{\cos\phi_2}{\sin\phi_2} = 1{,}4\text{ kvar} \times \frac{0{,}707}{0{,}707} = 1{,}4\text{ kW}$$

1. Cálculo das Potências Totais da Associação: Pelo princípio da conservação de potências em regime senoidal:
   • Potência Ativa Total ($P_T$):

$$P_T = P_1 + P_2 = 1{,}6\text{ kW} + 1{,}4\text{ kW} = 3{,}0\text{ kW}$$

• Potência Reativa Total ($Q_T$):

$$Q_T = Q_1 + Q_2 = 1{,}2\text{ kvar} + 1{,}4\text{ kvar} = 2{,}6\text{ kvar}$$

Conclusão e Justificativa do Gabarito Oficial (A)

A potência ativa e reativa totais são, respectivamente, 3,0 kW e 2,6 kvar.

📌 DADOS & CONTEXTO

• Carga monofásica linear passiva alimentada em regime permanente senoidal por fonte de frequência angular $\omega$;
• Impedância complexa associada em série: $\mathbf{Z} = R + jX_L = 80 + j60\ \Omega$;
• Parâmetros do circuito:
  • Parte real (Resistência ôhmica ativa): $R = 80\ \Omega$;
  • Parte imaginária (Reatância indutiva): $X_L = 60\ \Omega$.

⚙️ MÉTODO & EQUACIONAMENTO DO FATOR DE POTÊNCIA E DO TRIÂNGULO DE IMPEDÂNCIAS

1. Determinação do Módulo da Impedância Total ($|\mathbf{Z}|$):

$$|\mathbf{Z}| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6.400 + 3.600} = \sqrt{10.000} = 100\ \Omega$$

1. Cálculo do Ângulo de Defasagem ($\theta$) e do Fator de Potência ($\text{FP}$):
   • Por definição fundamental de circuitos de corrente alternada, o fator de potência equivale ao cosseno do ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente ($\theta = \arctan(X_L / R)$):

$$\text{FP} = \cos\theta = \frac{R}{|\mathbf{Z}|} = \frac{80\ \Omega}{100\ \Omega} = 0{,}80\quad (\text{indutivo / atrasado})$$

1. Análise Fasorial e Potências Ativa e Aparente:
   • Em termos percentuais, $80\%$ da potência aparente total ($S$) fornecida pela fonte é convertida em potência ativa útil ($P = S \cdot \cos\theta$), enquanto os $60\%$ restantes correspondem à componente reativa indutiva de magnetização ($Q = S \cdot \sin\theta$).

🎯 CONCLUSÃO

O fator de potência da carga sob as condições especificadas é igual a 0,80, correspondendo à alternativa C.

📌 DADOS & CONTEXTO

• Cargas elétricas em paralelo:
  • Potência ativa da máquina 1: $P_1 = 2{,}4\text{ kW}$;
  • Potência ativa da máquina 2: $P_2 = 1{,}2\text{ kW}$;
  • Potência reativa total da instalação: $Q_{total} = 2{,}7\text{ kvar}$.

⚙️ MÉTODO & CÁLCULO DAS POTÊNCIAS TOTAIS E DO FATOR DE POTÊNCIA

1. Potência Ativa Total da Instalação ($P_{total}$):

$$P_{total} = P_1 + P_2 = 2{,}4\text{ kW} + 1{,}2\text{ kW} = 3{,}6\text{ kW}$$

1. Determinação da Potência Aparente Total ($S_{total}$):

$$S_{total} = \sqrt{P_{total}^2 + Q_{total}^2} = \sqrt{(3{,}6)^2 + (2{,}7)^2} = \sqrt{12{,}96 + 7{,}29} = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\text{ kVA}$$

1. Cálculo do Fator de Potência Global ($\text{FP}$):

$$\text{FP} = \cos\theta = \frac{P_{total}}{S_{total}} = \frac{3{,}6\text{ kW}}{4{,}5\text{ kVA}} = 0{,}80\quad (\text{indutivo})$$

🎯 CONCLUSÃO

O fator de potência da instalação é de 0,8, correspondendo à alternativa C.