Questões de Controle e Sistemas Lineares para Concurso

Fundamentos de Teoria de Controle de Processos

1. Controle em Malha Aberta (Open-Loop Control): A ação de controle é calculada e aplicada ao atuador independentemente do valor real instantâneo da variável de processo controlada. Não existe laço de realimentação (feedback) comparando a saída com o setpoint.
   • Vantagens: Baixo custo de implementação, ausência de sensores de medição contínua na saída, simplicidade de projeto e ausência de problemas de instabilidade de malha.
   • Desvantagens/Limitações: Não é capaz de compensar perturbações externas (distúrbios de carga), variações paramétricas do sistema ou desgastes ao longo do tempo.
2. Controle em Malha Fechada (Closed-Loop Control): Mede a saída, calcula o sinal de erro ($e(t) = r(t) - y(t)$) e ajusta a variável manipulada para rejeitar perturbações.

Conclusão e Justificativa do Gabarito Oficial (D)

O controle de malha aberta é caracterizado por seu baixo custo e baixa complexidade, mas que não é capaz de compensar eventuais perturbações sofridas pelo sistema.

📌 DADOS & CONTEXTO

• Sistema de duas equações lineares nas variáveis reais $x$ e $y$ dependente dos parâmetros reais $k$ e $m$:

$$\begin{cases} k^2 x + y = 3 & \text{(Equação 1)} \\ x - k y = m + 4 & \text{(Equação 2)} \end{cases}$$

• Condição dada: Existem números reais distintos $a \ne b$ tais que os pares simétricos $(a,b)$ e $(b,a)$ são ambos soluções do sistema linear.

⚙️ MÉTODO & ANÁLISE ALGÉBRICA DA SIMETRIA DAS SOLUÇÕES

1. Substituição dos Pares na Equação 1:

$$k^2 a + b = 3 \quad \text{e} \quad k^2 b + a = 3$$

• Subtraindo as duas equações:

$$k^2(a - b) + (b - a) = 0 \implies k^2(a - b) - (a - b) = 0 \implies (k^2 - 1)(a - b) = 0$$

• Como $a \ne b$, temos necessariamente $a - b \ne 0$, o que impõe:

$$k^2 - 1 = 0 \implies k = 1 \quad \text{ou} \quad k = -1$$

1. Avaliação para $k = 1$:
   • A Equação 1 torna-se $x + y = 3 \implies a + b = 3$;
   • A Equação 2 para os dois pares dá $a - b = m + 4$ e $b - a = m + 4 \implies a - b = -(a - b) \implies a - b = 0 \implies a = b$, o que contradiz a premissa de que $a \ne b$;
2. Avaliação para $k = -1$:
   • A Equação 1 torna-se $(-1)^2 x + y = x + y = 3$;
   • A Equação 2 torna-se $x - (-1)y = x + y = m + 4$;
   • Para que o sistema admita infinitas soluções $(a, 3-a)$ com $a \ne 3-a$, as duas equações devem ser perfeitamente idênticas:

$$m + 4 = 3 \implies m = 3 - 4 = -1$$

🎯 CONCLUSÃO

Os valores dos parâmetros são necessariamente $k = -1$ e $m = -1$, confirmando a Alternativa C.

📌 DADOS & CONTEXTO

• Sistema de controle contínuo de segunda ordem:
  • Função de transferência: $G(s) = \frac{K}{s^2 + a s + b}$;
  • Coeficiente de amortecimento: $\zeta = 0{,}7$;
  • Frequência natural não amortecida: $\omega_n = 15\text{ rad/s}$;
  • Valor em regime permanente para entrada degrau unitário: $y(\infty) = 0{,}4$.

⚙️ MÉTODO & DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS

1. Comparação com o Polinômio Característico Canônico de Segunda Ordem:

$$s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2 = s^2 + a s + b$$

• Cálculo de $a$:

$$a = 2 \zeta \omega_n = 2 \times 0{,}7 \times 15\text{ rad/s} = 21$$

• Cálculo de $b$:

$$b = \omega_n^2 = (15)^2 = 225$$

1. Aplicação do Teorema do Valor Final para Degrau Unitário ($X(s) = 1/s$):

$$y(\infty) = \lim_{s \to 0} s \cdot Y(s) = \lim_{s \to 0} s \left( \frac{1}{s} G(s) \right) = G(0)$$ $$G(0) = \frac{K}{b} = \frac{K}{225} = 0{,}4$$ $$K = 0{,}4 \times 225 = 90$$

🎯 CONCLUSÃO

Os valores de $a$ e $K$ são $21$ e $90$, respectivamente, confirmando a Alternativa B.

📌 DADOS & CONTEXTO

• Sinal causal contínuo no tempo definido para $t \ge 0$ formado pela superposição de três sinais elementares:

$$f(t) = \left( 1 - t - e^{-2t} \right) u(t)$$

• $u(t)$: Função degrau unitário de Heaviside;
• Objetivo: Obter a representação no domínio da frequência complexa $s$ através da Transformada de Laplace unilateral.

⚙️ MÉTODO & PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. Pares Canônicos de Transformada Unilateral:
   • $\mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}$
   • $\mathcal{L}\{t \cdot u(t)\} = \frac{1}{s^2}$
   • $\mathcal{L}\{e^{-2t} u(t)\} = \frac{1}{s + 2}$
2. Combinação Linear e Agrupamento das Frações:

$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s + 2}$$

1. Redução ao Mínimo Múltiplo Comum ($s^2(s + 2)$):

$$F(s) = \frac{s(s + 2) - 1(s + 2) - s^2}{s^2(s + 2)}$$ $$F(s) = \frac{s^2 + 2s - s - 2 - s^2}{s^2(s + 2)} = \frac{s - 2}{s^2(s + 2)} = \frac{s - 2}{s^3 + 2s^2}$$

🎯 CONCLUSÃO

A transformada de Laplace da função é $F(s) = \frac{s - 2}{s^3 + 2s^2}$, confirmando a Alternativa E.

Dados do Problema

• Função racional no domínio Z: $X(z) = \frac{7z^2 - 11z}{z^2 - 4z + 3}$;
• Condição: sequência causal no domínio do tempo discreto ($x(n) = 0$ para $n < 0$).

Método de Resolução por Expansão em Frações Parciais de X(z)/z

1. Fatoração das raízes do denominador:

$$z^2 - 4z + 3 = (z - 1)(z - 3)$$

1. Decomposição de $\frac{X(z)}{z}$:

$$\frac{X(z)}{z} = \frac{7z - 11}{(z - 1)(z - 3)} = \frac{A}{z - 1} + \frac{B}{z - 3}$$

1. Cálculo dos Resíduos $A$ e $B$:
   • Para o polo $z = 1$:

$$A = \left. \frac{7z - 11}{z - 3} \right|_{z = 1} = \frac{7(1) - 11}{1 - 3} = \frac{-4}{-2} = 2$$

• Para o polo $z = 3$:

$$B = \left. \frac{7z - 11}{z - 1} \right|_{z = 3} = \frac{7(3) - 11}{3 - 1} = \frac{21 - 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

1. Reconstituição de $X(z)$:

$$X(z) = 2 \cdot \frac{z}{z - 1} + 5 \cdot \frac{z}{z - 3}$$

1. Aplicação dos Pares Notáveis da Transformada Z Inversa:
   • $\mathcal{Z}^{-1}\left\{ \frac{z}{z - 1} \right\} = u(n)$;
   • $\mathcal{Z}^{-1}\left\{ \frac{z}{z - a} \right\} = a^n u(n) \implies \mathcal{Z}^{-1}\left\{ \frac{z}{z - 3} \right\} = 3^n u(n)$;
   • Portanto: $x(n) = 2 u(n) + 5 (3)^n u(n)$.

Conclusão e Justificativa do Gabarito

A sequência temporal causal correspondente é $x(n) = 2u(n) + 5(3)^n u(n)$, validando a alternativa (C).